Consideremos la sucesión de funciones $f_n : [0, 1] \to \mathbb{R}$ definida por:
$$ f_n(x) = \frac{n^2 x^2}{1 + n^3 x^3} \sin\left(\frac{x}{n}\right) $$
Apartado A:
Estudia la convergencia puntual de la sucesión ${f_n}_{n=1}^{\infty}$ en el intervalo $[0, 1]$. Sea $f(x)$ la función límite, halla su expresión analítica.
Apartado B:
Demuestra, utilizando la definición formal con $\varepsilon$ y $\delta$, si la convergencia es uniforme en el intervalo $[0, 1]$ y en el intervalo $[\delta, 1]$ para un $\delta > 0$.
Apartado C:
Calcula los siguientes valores e indica si el resultado contradice el Teorema de Paso al Límite bajo el Signo Integral:
$$ L_1 = \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_n(x) \, dx \quad \text{y} \quad L_2 = \int_{0}^{1} \left( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \right) \, dx $$
Apartado D:
Sea la serie de funciones definida como $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_n(1)}{n^p} x^n$. Determina el radio de convergencia de la serie en función del parámetro $p \in \mathbb{R}^+$.